utilissimo!!! ora ho capito!! grazie 1000!
solo una cosa: un punto di equiluibrio è instabile se non è stabile giusto?
quindi nella funzione dell'esempio, qualsiasi altro punto (tranne l'origine) è un pun to di equilibrio instabile?

Esatto, in pratica devi fare la negazione logica della condizione di stabilità: alla fine troverai che l'evoluzione dinamica esploderà fuori dall'intorno di raggio epsilon.



Occhio, tutti gli altri punti nella funzione della rotazione che ho postato prima sono periodici (con periodo=4), non di equilibrio.

EDIT: nel post precedente, quando facevo l'esempio della retta passante per l'origine con l'origine come punto di equilibrio repulsore, ho dimenticato di specificare che il coefficiente angolare deve essere diverso da 1 (altrimenti sono tutti punti di equilibrio )

Rymoah

ragazzi il modulo VI "Sistemi Dinamici Iterati Multi-Dimensionali" sul libro scaricabile dal sito è da fare? perchè sul programma alla prima pag. non sono indicati gli SDI multi-dimensionali.
Grazie!

Beh, se non sono segnati sul programma, evidentemente non sono da studiare . Il programma da 6 crediti arriva fino agli SDI bidimensionali. L'anno scorso, visto che eravamo solo in 6 a seguire il corso, Dennunzio a lezione ha trattato a grandi linee anche altri argomenti più avanzati, tipo caos topologico (spiegato nel modulo 7 del libro) e altri teoremi sugli automi cellulari (non presenti sulle dispense), che comunque non sono oggetto d'esame. Anche perchè dovrebbero essere studiati più dettagliatamente nel corso di complementi che c'è alla magistrale.

Rymoah

in 6... assurdo

 

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A proposito, 6 di cui 3 di informatica.

EDIT: Una precisazione su quanto chiesto prima da kind85 sulla funzione di rotazione: effettivamente tutti gli altri punti diversi dall'origine non sono punti di equilibrio instabili (perchè non sono nemmeno punti di equilibrio, come ho detto prima), però sono stati stabili. Scusa per queste ripetute precisazioni e correzioni, ma è un po' che non la ripasso questa materia

Rymoah

ragazzi avrei bisogno di qualche chiarimento su alcuni esercizi:
es 1)Si consideri un registro di scorrimento non lineare di lunghezza k ossia quel registro a cui è associato il SDI ove la funzione stato prossimo trasforma ogni bit sulla base della funzione di Coven che ha in input il bit stesso ed i primi due bit a destra Formalizzare bene il SDI dato. Si assuma che alla destra del registro (fuori dal registro) vi siano 2 bit pari a zero (questi servono per aggiornare gli ultimi due bit più a destra contenuti nel registro). Quali sono i punti di equilibrio? E nel caso in
cui al di fuori del registro vi siano i bit 1, 0? e nel caso in cui vi siano 0,1? e nel caso in cui vi siano i bit 1,1?
Soluzione:
il mio problema non sta nel trovare la soluzione ma nell'esprimerla in modo corretto. cioè, se nei bit più a destra (che chiamo a e b) ho a=0 e b=0 devo fare esempi di registri con configurazioni tali da essere un punto di equilibrio? perchè secondo me non c'è un unico punto di equilibrio. es. il registro formato da tutti 0, il registro in cui si ripetono i bit 1 0 0. quindi la soluzione è scrivere tutte le configurazioni che sono punti di equilibrio? o ne basta uno?

es 2)Sia <R2, gA> il SDI ove gA : R2 --> R2 è definita come gA(x) = Ax, ove A è la matrice
A = (2 0
2 2)
Determinare la forma chiusa del moto positivo di stato iniziale il generico vettore x0. Determinare i punti di equilibrio e i punti periodici di periodo 2 del sistema.
Soluzione
per definire la forma chiusa del moto positivo di stato iniziale x0 basta scrivere
φx(t)=g^t(x0) quindi A^t(x0) oppure mi devo calcolare almeno un po di iterazioni per un generico vettore x0=(x1,x2)?
sia il punto di equilibrio sia il punto periodico di periodo 2 sono x=(0,0) giusto? che poi in teoria il punto x=(0,0) non è punto periodico perchè è di equilibrio. quindi il sistema non ha punti periodici di periodo 2 o sbaglio?

es 3)
ho il seguente esercizio:
sia <RR,g> il SDI, ove la funzione g : R->R è definita come g(x)=x^2. Scrivere l'equazione alle differenze del I ordine che descrive tale SDI.
Premesso che non ho capito bene il significato delle equazioni alle differenze, come si risolve l'esercizio?
da quello che ho visto in giro dovrei scrivere un sistema del tipo:
{x(t+1)=x^2
{x(0)=x
ma che significato ha?
che differenza c'è tra le equazioni alle differenze di I e II ordine? per questo esempio si può scrivere quella di II grado?
forse ho scritto una marea di assurdità ma ho una confusione in testa che non ci sto capendo niente!
Grazie

per chi fà l'esame oggi 29/01: mi raccomando prendete il tema d'esame e inviatelo a mgeneric26@gmail.com
ciao

Non ho molto tempo, quindi cerco di rispondere al tuo primo quesito:



Chiaramente non puoi enumerare tutte le configurazioni che sono punti di equilibrio, poichè sebbene il registro sia di lunghezza finita, k non è definito. L'unica cosa che puoi fare è cercare di trovare una proprietà (che varierà a seconda di quali sono gli ultimi due bit fuori dal registro) che descriva l'insieme dei punti di equilibrio. Per farlo dovresti cercare prima di formalizzare bene il SDI dato. Per esempio, nel caso dei due bit fuori registro entrambi uguali a zero, io farei così:

, con e



dove



la coppia è un SDI perchè:

1) , con d distanza di Hamming, è uno spazio metrico;
2) chiaramente l'insieme degli ingressi e l'insieme delle uscite sono uguali, dato che ;
3) con distanza di Hamming è continua su , perchè è un insieme di cardinalità finita (c'è un teorema sul libro che mostra questa proprietà).

Ora, per trovare tutti punti di equilibrio, devi cercare una proprietà che li accomuni. Se i due bit fuori registro sono uguali a zero potrebbe essere questa:




In pratica sto semplicemente negando la condizione che fa variare i bit, ovvero che i due successivi siano uguali ad 1. L'indice i arriva fino a k-2 dato che essendo i due bit fuori registro sempre uguali a zero, il penultimo e l'ultimo bit rimarranno comunque invariati.
Negli altri casi la soluzione è la stessa, bisogna però vedere fino a che valore di i deve essere valida la condizione. Non ho tempo di controllare, ma penso che se i due bit fuori registro sono entrambi uguali ad 1, di punti di equilibrio non ce ne sono.

Più tardi cercherò di dare un'occhiata anche agli altri due problemi che hai postato

Rymoah

Grazie Rymoah, si con gli ultimi due bit uguali a 1 non ci sono punti di equailibrio!

La forma chiusa serve proprio ad evitare di doversi fare tutte le iterazioni una per una . Quindi basta scrivere solo la forma chiusa, che negli SDI governati da applicazioni lineari, come nel nostro caso, corrisponde a quello che hai scritto te, ovvero la matrice A elevato t volte per il vettore del punto iniziale.



Esatto. Spero comunque che questa soluzione tu non l'abbia trovata "a naso" provando un po' di vettori ma impostando le equazioni corrispondenti (chiaramente non è per farti la morale, eh, ma credo che se uno usa il metodo del "provare qualche soluzione particolare" allo scritto verrà bocciato senza pietà ).



Scusami, ma credo che prima di affrontare altri esercizi del genere è meglio se ti guardi bene la parte sul libro che tratta questi argomenti. Purtroppo questa materia è così, se prima non si capisce bene la teoria con gli esercizi non si va molto lontano.
Parlando molto in generale ti posso dire che le equazioni alle differenze descrivono l'andamento di un sistema dinamico a tempi discreti da un passo temporale all'altro, così come le equazioni differenziali descrivono l'andamento di un sistema dinamico a tempi continui (dove i passi temporali sono infinitesimi). Se tu parli di equazione alle differenze del primo ordine, significa che hai una relazione che ti lega uno stato del sistema (al tempo t+1) allo stato precedente (al tempo t) che l'ha generato, tramite l'applicazione della funzione del sistema. Se si parla di equazione del secondo ordine, lo stato (al tempo t+2) dipenderà invece dai due precedenti (tempo t+1 e t) che l'hanno generato applicando la funzione due volte.

Quello che hai scritto tu non è l'equazione alle differenze, ma un problema ai valori iniziali, ovvero l'equazione alle differenze corredata di un valore al tempo t=0 per trovare una soluzione particolare. Come l'hai scritto te, peraltro, non ha alcun senso dato che la seconda equazione non dà un valore numerico ma un'altra variabile.

In sostanza, nell'esercizio che hai postato, se ti chiede l'equazione del primo ordine che governa il sistema devi semplicemente scrivere



Rymoah

allora, per trovare i punti di equilibrio ho fatto:

quindi ho moltiplicato la matrice per il vettore generico

ed ho ottenuto il sistema

da qui p1=0 e p2=0. Quindi il punto di equilibrio è (0,0)

Per i punti periodici di periodo 2 ho fatto la stessa cosa solo che la matrice A era al quadrato, cioè A^2.

ottenendo sempre p1=0 e p2=0.
Come procedinmento penso sia giusto no?
Se il procedimento è giusto, mi potresti indicare qualche esercizio in cui il punto periodico di periodo 2 sia diverso dal punto di equilibrio?

l'esercizio continua chiedendo la forma chiusa del moto positivo di stato iniziale il generico x0 e di determinare i punti di equilibrio e i punti periodici di periodo 2.
Come si esprime la forma chiusa in questo caso?
per i punti di equilibrio credo che l'unico sia x=1 e non ci siano punti periodici di periodo 2.

Proprio così Scusami se ho dubitato, ma vedendo che avevi scritto semplicemente il punto di equilibrio ho pensato che non l'avessi fatto usando le equazioni.



Non mi viene in mente nessun esercizio in particolare... Ti consiglio di guardare comunque quelli con una matrice che non contiene zeri: se ci fai caso, nell'esercizio che hai postato è proprio quello 0 in posizione (1,2) che ti annulla il secondo elemento del vettore quando calcoli il prodotto righe per colonne, facendo diventare la prima equazione per il punto d'equilibrio un'identità (p1 = p1)



Non vorrei dire una cazzata (come ti ho detto, è diverso tempo che non riguardo questa materia), ma credo che in questo caso la forma chiusa non si possa trovare, perchè la funzione che governa il sistema non è lineare. L'unica cosa che credo si possa fare è approssimare questa funzione con uno sviluppo di Taylor, riconducendosi poi alla forma chiusa di un sistema affine. Usando lo sviluppo di Taylor ci sono poi delle condizioni che ti permettono di stabilire
di che tipo sono i punti di equilibrio.

Rymoah

ma è una cosa che si deve fare? nel senso che lo sviluppo di taylor non mi sembra di averlo incontrato nel libro di teoria. è un procedimento che bisogna sapere?

Rinnovo l'appello per qualche tema d'esame più recente rispetto a quelli disponibili sul sito....inviate a mgeneric26@gmail.com

Ti posso chiedere da dove hai preso quell'esercizio? Perchè sinceramente non ricordo di avere mai fatto esercizi in cui si chiedeva di determinare la forma chiusa del moto positivo di una funzione non lineare. Ricordo però che c'erano parecchi esercizi in cui bisognava trovare la natura dei punti di equilibrio di sistemi con funzioni non lineari, usando le condizioni apposite che trovi nel capitolo 13 del libro (queste condizioni, mi sono sbagliato io, non usano lo sviluppo di Taylor ma solo la derivata prima della funzione).

Rymoah

dal sito del corso precisamente http://www.fislab.disco.unimib.it/~alberto/es1-06-07.pdf
è l'es 14, ma ce ne sono anche altri (15, 16...)

Capisco, boh probabilmente quegli esercizi non li ho guardati (dato che mi sono esercitato soprattutto su quelli della dispensa che è disponibile alla copisteria OraStudio), oppure la mia memoria comincia a fare seriamente cilecca e magari mi sto perdendo in un bicchier d'acqua

Per risolvere ti consiglierei, guardando il capitolo 13 del libro, di seguire questo procedimento, anche se è meglio se lo prendi con le pinze (se qualcun altro più ferrato riesce ad intervenire, e a correggermi se sbaglio, ben venga! ):

1) Calcola i punti di equilbrio (nel tuo esercizio sono solo 0 e 1 mi pare);
2) Scegliendo un intorno (del tutto generico) di uno dei punti di equilibrio, puoi approssimare la tua funzione non lineare ad una affine (leggi sul libro la formula esatta, cmq mi sembra che la alfa sia la derivata prima di g calcolata nel punto di equilibrio mentre la beta sia 1 meno la derivata prima calcolata nel punto di equilibrio, il tutto moltiplicato per il punto di equilibrio).
3) A questo punto puoi dire che per ciascun stato iniziale appartenente all'intorno, i comportamenti del SDI di partenza e quello affine ricavato sono indistinguibili, quindi puoi calcolare l'evoluzione dinamica del punto applicando la formula per gli affini.
4) Ripeti 2) e 3) per l'altro punto di equilibrio, dato che ovviamente i calcoli in generale potrebbero portare a risultati diversi.

Rymoah

purtroppo io non ho quella dispensa e non ho neanche la possibilità di prenderla. ecco perchè nei post precedenti chiedevo temi d'esame, per capire che tipi di esercizi ci possono essere. (anzi se hai qulche consiglio è sempre ben accetto!)

esercizio:
dato l'Automa Cellulare unodimensionale <D=1, n=10, A, r, f>
1) scrivere in funzione di |A| (: cardinalità di A) e di r il numero delle possibili regole locali;
2)nel caso in cui A={0,1}, r=1 e nf=51, determinare l'evoluzione dinamica dell'automa a partire dalla configurazione x appartenente a {0,1}^10, x=(0,1,1,0,0,1,0,1,0,1) (condizioni al contorno periodiche). Che caratteristica ha la configurazione x?
3) nel caso in cui A={0,1}, r=1 e f definita mediante la posizione

determinare l'evoluzione dinamica dell'automa a partire dalla configurazione x appartenente a {0,1}^10, x=(1,0,1,1,0,1,0,1,1,0)(condizioni al contorno periodiche). Che caratteristica ha la configurazione x? rappresentare il grafo di architettura dell'automa.

chi mi saprebbe aiutare?grazie 1000!

Andando a memoria, tra gli esercizi che capitano allo scritto mi sembra ce ne sia sempre uno sugli automi cellulari 1D e un'equazione alle differenze del secondo ordine (che quelli che hanno l'esame da 4 CFU non devono fare). Gli altri due in genere possono essere sullo studio dei sistemi unodimensionali (equazione alle differenze del primo ordine, punti di equilibrio, periodici, orbite...) o su quelli contrattivi, ecc.
Poi chiaramente ci sono le domande di teoria (dove non si chiedono dimostrazioni di teoremi), di cui bisogna farne giuste almeno la metà per passare l'esame, se non ricordo male.



Questa è teoria pura, te la trovi sulla dispensa dedicata agli automi cellulari. Andando di nuovo a memoria, dovrebbe essere 2^|A|^(2r+1), ma ti conviene controllare (e capire perchè è così ).



Se guardi nelle pagine precedenti di questo thread dovresti trovare alcuni esercizi svolti di questo tipo. In sostanza devi prima associare ad ogni configurazione dell'intorno la cifra corrispondente nel numero di regola convertito in binario per ricavarti la regola locale. Dopodichè, ti prendi la configurazione iniziale, fai un po' di iterate e vedi che ti salta fuori (ovviamente ogni configurazione iniziale, essendo il numero di celle dell'automa finito, sarà definitivamente periodica, ma ti tocca guardare se è anche di equilibrio, ecc.).

Rymoah

allora, ho letto i post precedenti e riletto le slide, ma ancora non mi è tutto chiaro:
prima domanda: sulle slide non dà una regola precisa e generale ma fa l'esempio di un automa cellulare booleano dicendo che in questo caso la regola di aggiornamento locale sarà del tipo f:{0,1}^(2r+1)-->{0,1} e quindi le possibili regole saranno in numero pari a 2^2^(2r+1). ora 2^(2r+1) ho capito che in generale diventa |A|^(2r+1)(come hai scritto tu), che è il numero di disposizioni di |A| elementi in (2r+1) posti(celle), ma il primo 2 è fisso? quindi vale anche nel caso in cui l'automa cellulare non sia booleano oppure è dato proprio dal fatto che è booleano? (spero di aver reso l'idea)
e che significato ha?


seconda domanda: io ho nf=51. lo devo convertire in binario? quindi diventa 110011? e con questo numero cosa ci faccio?
scusami ma purtroppo ho bisogno degli esempi pratici per capire queste cose!
grazie

Scusami tanto, ma ho detto una solenne cacchiata prima, il numero di regole nel caso di A generico è |A|^|A|^(2r+1). Il significato è semplice: il raggio r ti definisce un intorno di ampiezza 2r+1 (per esempio se r=1, ogni cella guarda quella dietro di lei, quella avanti a lei e se stessa per computare la funzione di aggiornamento, quindi (2*1)+1=3 celle in tutto). Ora, le possibili configurazioni dell'intorno sono |A|^(2r+1) (sono disposizioni con ripetizione, come hai detto tu). Sempre nel caso di r=1, se abbiamo |A|=2 le possibili configurazioni diventeranno 2^(2*1+1)=8.
A questo punto, ci si chiede quante funzioni è possibile definire su quell'intorno con quell'alfabeto, da A^(2r+1)-->A. Chiaramente, sono ancora disposizioni con ripetizione, quindi sono |A|^|A|^(2r+1). Nel caso degli automi cellulari elementari, diventano 2^8=256.



Allora:

1) Converti il numero in binario (e fin qui ok);
2) Se necessario, "paddi" il tuo numero aggiungendo a sinistra abbastanza zeri per avere esattamente 2^(2r+1) cifre binarie (nel tuo caso devi aggiungere 2 zeri, quindi diventa 00110011);
3) Partendo da sinistra, associ la prima cifra all'intorno (0,0,0), la seconda a (0,0,1), la terza a (0,1,0) e così via.

Alla fine avrai la tabella completa che associa ad ogni possibile configurazione dell'intorno lo stato successivo che deve assumere la cella centrale. In questo modo puoi calcolarti la configurazione successiva di tutto l'automa cellulare, aggiornando ogni singola cella. Poichè nel tuo caso le condizioni al contorno sono periodiche, quando aggiorni la prima cella guardi l'ultima come cella all'indietro e la seconda come cella in avanti. Quando invece aggiorni l'ultima, guardi la penultima all'indietro e la prima in avanti.

Più chiaro di così nn riesco ad essere... Come è già stato scritto nelle pagine precedenti del thread, questa roba è più facile da fare che da spiegare

Rymoah

è proprio vero!!! ora è chiarissimo! non riuscivo a capire cosa dovevo fare con la conversione in binario del numero della regola.
Grazie ancora!!!

qualche domandina:
1)quale sono le condizioni di applicabilità del metodo di Gauss-Seidel? basta che la matrice Cg costruita facendo
Cg=[(D-L)^-1 * U] sia contrattiva rispetto a una norma?
2) dati C e d rispettivamente matrice e vettore di Jacobi, controllare se sono verificate le condizioni sufficienti che garantiscono la contrattività di g(x)=Cx+d significa verificare che rispetto a qualche norma (∞, 1 e 2) applicata alla matrice C l'SDI è contrattivo? (cioè applico le norme alla matrice C e vedo se sono <1?)
3)in un esercizio viene data la matrice A e il vettore b e si chiede di verificare se è applicabile il metodo iterativo diretto per la risoluzione del sistema. (il metodo di Jacobi e Gauss-Siedel sono chiesti successivamente, quindi penso che non si riferisce ad questi). qual'è il metodo diretto? devo vedere se la matrice è contrattiva rispetto a qualche norma?
4)qual è la formula per calcolare il numero di iterazioni necessarie a ottenere un'approssimazione del punto di equilibrio p?
5) la matrice H ed il vettore e del metodo Gauss-Seidel si calcolano facendo H=[(D-L)^-1 * U] e e=(D-L)^-1 * b?

qualcuno ha notizie sui risultati dell'appello del 12/02/2010?
grazie

Ciao, scusa se arrivo un bel po' in ritardo, ma in questi giorni ero indaffarato con ROPS complementi. Ad ogni modo, ti conviene mandare direttamente una mail a Dennunzio, perchè ultimamente non pubblica più i risultati degli esami sul sito del Fislab.

Ora non ho tempo di rispondere alle domande che avevi postato prima, cercherò di farlo più avanti

Rymoah